とても古い家だけど、固定資産税はかかりますか？

かかります
どのような家屋でも、現在の経年減点補正率（減価償却率）は再建築価格（評価替えの時点で同じ家屋を建築した場合に必要とされる建築費）に対して20％が限度です。
つまり、3年毎に評価を見直しても、家屋が取り壊されない限り、評価額は0（ゼロ）にはならない計算方法になっています。